Question

已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=+a．
（1）若f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；
（2）求方程f（x）=g（x）的根的个数．

Answer 1

解：（1）由得x=0，
故f（x）仅有一个极小值点x=0，根据题意得：=1
∴a=-2或a=-8；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=，则
当x∈[0，1]∪（1，+∞）时，h′（x）≥0
当x∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，h′（x）＜0
因此，h（x）在（-∞，-1）、（-1，0）时，h（x）单调递减，在（0，1）、（1，+∞）时，h（x）单调递增、
又h（x）为偶函数，当x∈[-1，1]时，h（x）极小值为h（0）=1-a
当x→-1^-时，h（x）→-∞，当x→-1⁺时，h（x）→+∞
当x→-∞时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞
故f（x）=g（x）的根的情况为：
当1-a＞0，即a＜1时，原方程有2个根；
当1-a=0，即a=1时，原方程有3个根；
当1-a＜0，即a＞1时，原方程有4个根．
分析：（1）求导数，确定极值点，利用f（x）的一个极值点到直线l的距离为1，可求a的值；
（2）构建新函数h（x）=f（x）-g（x），求导函数，确定函数的单调性，进而分类讨论，可得方程f（x）=g（x）的根的个数．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．