Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=- 5 - 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线CΘ，求曲线CΘ上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．
（2）曲线C₁的方程为4x²+y²=4，设曲线C₁上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．

解答：解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x
即曲线C的方程为（x-2）²+y²=4，直线l的方程是：x+y=0…（4分）
（2）将曲线C横坐标缩短为原来的

1

2

，再向左平移1个单位，得到曲线C₁的方程为4x²+y²=4，设曲线C₁上的任意点（cosθ，2sinθ）
到直线l距离d=

|cosθ+2sinθ |

2

=

5 |sin(θ+α)|

2

．
当sin（θ+α）=0时
到直线l距离的最小值为0．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．