Question

已知实数a，b满足：（a-1）³+2011（a-1）=2012，（b-1）³+2011（b-1）=-2012．则下列四个结论中正确的结论的序号是________．
①点（a，b）在一条定直线上；
②；
③a＞b；
④（a-1）（b-1）=2011．

Answer 1

①③
分析：令a-1=x，b-1=y，则：x³+2011x=2012，y³+2011y=-2012，两方程相加可得：（x+y）（x²-xy+y²+2011）=0，从而可得a+b-2=0，故①正确；可求a=2，b=0，故②不正确；③正确；不正确．
解答：令a-1=x，b-1=y，则：x³+2011x=2012，y³+2011y=-2012
两方程相加可得：（x+y）（x²-xy+y²+2011）=0，
∵x²-xy+y²+2011≠0，∴x+y=0，∴a+b-2=0，∴①正确
∵x³+2011x=2012，∴x³-1+2011（x-1）=0
∴（x-1）（x²+x+2012）=0
∵x²+x+2012≠0，∴x=1，∴a=2，故②不正确；
∵a+b-2=0，∴b=0，∴a＞b，故③正确；
∵（a-1）（b-1）=-1，∴④不正确
故答案为：①③
点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．