Question

已知二项式(x+

1

2

)n的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）设(x+

1

2

)n=a0+a1x+a2x2+…+ anxn．①求a₅的值；②求a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

•4，由此求得n的值．
（2）①在二项式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求得 r的值，即可求得a₅ 的值．
②在等式(x+

1

2

)8 =a0+a1x+a2x2+…+ a8x8 中，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）^8•a₈的值．

解答：解：（1）由于已知二项式(x+

1

2

)n的展开式中前三项的系数

C

0 n

、

C

1 n

•

1

2

、

C

2 n

•2²成等差数列，故有2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

•4，
解得n=8，或 n=1（舍去）．
（2）①二项式的通项公式为

C

r 8

•x^8-r•(

1

2

)r，令8-r=5，r=3，∴a₅=

C

3 8

•

1

8

=

7

4

．
②在等式(x+

1

2

)8 =a0+a1x+a2x2+…+ a8x8 中，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）^8•a₈=

1

256

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．