Question

9．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，且边AC=2，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$+2
• B． 4
• C． 4-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+1

Answer 1

分析 根据条件可得到B=$\frac{π}{3}$，也就是B为锐角，根据数量积的计算公式即可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2|\overrightarrow{AB}|cosA$，结合$|\overrightarrow{AB}|cosA$的几何意义即可知道当AC⊥BC时$|\overrightarrow{AB}|cosA$取到最大值2，这样即可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：A、B、C成等差数列；
∴2B=A+C；
又A+B+C=π；
3B=π，B=$\frac{π}{3}$；
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA=2|\overrightarrow{AB}|cosA$；
如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，则：
由图可看出$|\overrightarrow{AB}|cosA=AD$；
只有当D和C点重合时，$|\overrightarrow{AB}|cosA$取到最大值AC=2；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最大值为4．
故选：B．

点评 考查等差数列的定义，向量数量积的计算公式，余弦函数的定义，以及数形结合解题的方法．