Question

已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）求证：.

Answer 1

（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，
单调递增区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，从而问题等价转化为证.
试题解析：（Ⅰ）                          1分
时，，在上单调递增。                     2分
时，时，，单调递减，
时，，单调递增.            4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），时，
                          5分
即，记 
 
在上增，在上递减

故，得                        8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），即，则时，
要证原不等式成立，只需证：，即证：
下证   ①                                     9分



①中令，各式相加，得

成立，                          
故原不等式成立.                                                 14分
方法二：时，
时，

时，