Question

【题目】在平面直角坐标系中，动圆经过点M（0，t﹣2），N（0，t+2），P（﹣2，0）．其中t∈R．
（1）求动圆圆心E的轨迹方程；
（2）过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A，B，直线OA与直线OB分别交直线x=2于两点C，D，记△ACD与△BCD的面积分别为S1 ， S2 ． 求S1+S2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设动圆的圆心为E（x，y）

则 即：（x+2）2+y2=4+x2

∴y2=﹣4x

即：动圆圆心的轨迹E的方程为y2=﹣4x

（2）

解：当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，

∴ ∴ ∴

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则k≠0，

直线AB的方程是y=k（x+2），k≠0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程 ，消去y，

得：k2（x+2）2+4x=0（k≠0），即：k2x2+4（k2+1）x+4k2=0（k≠0）

∴△=16（2k2+1）＞0， ，x1x2=4

由A（x1，y1），B（x2，y2）知，直线AC的方程为 ，直线AC的方程为 ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

令 ，则t＞0， ，

由于 函数 在（0，+∞）上是增函数

∴ ∴ ，

综上所述，

∴S1+S2的最小值为

【解析】（1）设动圆的圆心为E（x，y），通过 ，化简求解即可．（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，验证即可．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则k≠0，直线AB的方程是y=k（x+2），k≠0．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立方程 ，通过判别式韦达定理化简，求出直线AC的方程为 ，直线AC的方程为 ，表示出三角形的面积，求出面积和，利用函数的单调性证明即可．