Question

已知点P(-2

2

，0)，Q(2

2

，0)，动点N（x，y），设直线NP，NQ的斜率分别记为k₁，k₂，记k1?k2=-

1

4

（其中“?”可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算），坐标原点为O，点M（2，1）．
（Ⅰ）探求动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，动点N的轨迹再加上P，Q两点记为曲线C，直线l平行于直线OM，且与曲线C交于A，B两个不同的点．
（ⅰ）若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．
（ⅱ）试求出△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由斜率公式直接写出k₁，k₂，然后直接利用加，减，乘，除运算整理得动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两交点A，B的横坐标的和与积，利用原点O在以AB为直径的圆的内部得到

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＜0，代入根与系数关系即可求得m的范围；
（ⅱ）利用弦长公式求出弦长，由点到直线的距离公式求出三角形的高，代入面积公式后利用配方法求最值，并得到三角形面积最大时的直线方程．

解答：解：（Ⅰ）由两点求斜率得k1=

y

x+2 2

，k2=

y

x-2 2

当“?”表示加法时：

y

x+2 2

+

y

x-2 2

=-

1

4

⇒x2+8xy-8=0(y≠0)．
当“?”表示减法时：

y

x+2 2

-

y

x-2 2

=-

1

4

⇒x2=16

2

y+8(y≠0)．
当“?”表示乘法时：

y

x+2 2

y

x-2 2

=-

1

4

⇒

x2

8

+

y2

2

=1(y≠0)．
当“?”表示乘法时：

y

x+2 2

÷

y

x-2 2

=-

1

4

⇒x=

6

5

2

(y≠0)；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，曲线C为椭圆

x2

8

+

y2

2

=1，
设直线l：y=

1

2

x+

m

，(m≠0)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线与椭圆的方程得：x²+2mx+2m²-4=0，
由△＞0⇒0＜m²＜4，

x1+x2=-2m x1x2=2m2-4

…（*）
（ⅰ）因为点O在以AB为直径的圆内，故

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＜0，
∴x1x2+y1y2=

5

4

x1x2+

1

2

(x1+x2)+m2，
将（*）代入得m2＜2⇒-

2

＜m＜

2

所以m得取值范围为：-

2

＜m＜

2

且m≠0
（ⅱ）原点O到直线l的距离d=

2|m|

5

，
弦长|AB|=

5

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

4-m2

S=

1

2

2|m|

5

5(4-m2)

=

4m2-m4

，
令f（m）=4m²-m⁴=-（m²-2）²+4∈（0，4]
故得当且仅当m²=2，即m=±

2

时，
面积的最大值S_max=2．
此时的直线l的方程为：l：y=

1

2

x±

2

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，把原点O在以AB为直径的圆的内部转化为数量积小于0是解答该题的关键，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．