Question

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计且池无盖）．若受场地限制，长与宽都不能超过25米，则污水池的最低造价为多少？

Answer 1

分析：设污水池的宽为x米，则长为

400

x

米，求出池外的造价；求出中间两条隔墙的造价；求出池底的造价；将三个造价加起来即为总造价；据长、宽都都不能超过25米，求出定义域，再求出导函数，判断导函数在定义域上的符号，判断出函数的单调性，利用单调性求出函数的最值．

解答：解：设污水池的宽为x米，则长为

400

x

米，总造价为y，则  …（2分）
y=200(2x+2•

400

x

) +2•250•x+80-400
=900x+

160000

x

+32000…（6分）
依题意，

0＜x≤25 0＜ 400 x ≤25

，得16≤x≤25，…（9分）
∵y′=900-

160000

x2

=

100(3x-40)(3x+40)

x2

＞0
∴函数y=900x+

160000

x

+32000在区间[16，25]上为增函数．…（12分）
∴ymin=900×16+

160000

16

+32000=56400     …（13分）
所以，当污水池的长为25米，宽为16米时，总造价最低，最低造价为56400元．…（14分）

点评：本题考查将实际问题中的最值问题转化为数学中的函数最值、利用导函数的符号判断函数的单调性、利用函数的单调性求出函数的最值