Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC= BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；
（Ⅱ）若PC=2，PA= ，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．

∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF= ．

又AD=BC，且AD= ，∴AD∥EF且AD=EF，

则四边形ADEF是平行四边形．

∴DE∥AF，又DE面ABP，AF面ABP，

∴ED∥面PAB；

（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，

∴四边形ADCM是平行四边形，

∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．

∴AB⊥AC，可得 ．

过D作DG⊥AC于G，

∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，

∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．

过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在△ADC中， ，连接AE， ．

在Rt△GDH中， ，

∴ ，

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ．

法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．

∴四边形ADCM是平行四边形，

∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，

∴AB⊥AC．

∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．

如图以A为原点， 方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．

可得 ， ．

设P（x，0，z），（z＞0），依题意有 ， ，

解得 ．

则 ， ， ．

设面PDC的一个法向量为 ，

由 ，取x0=1，得 ．

为面PAC的一个法向量，且 ，

设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，

则有 ，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ．

【解析】
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．