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已知f(x)=log4(4+
4x1+x2
),x∈R
,定义[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]的值域是
{0,1}
{0,1}
分析:利用基本不等式求得 2≤4+
4x
1+x2
≤6,可得 log42≤log4(4+
4x
1+x2
)
≤log46,由此求得f(x)的值域,从而求得函数y=[f(x)]的值域.
解答:解:由于当x>0时,利用基本不等式可得4+
4x
1+x2
≤6.
当x=0时,4+
4x
1+x2
=4.
当x<0时,由于
-4x
1+x2
≤2,故 4+
4x
1+x2
=4-
-4x
1+x2
≥4-2.
综上可得,2≤4+
4x
1+x2
≤6,∴log42≤log4(4+
4x
1+x2
)
≤log46.
而log42∈(0,1),log46∈(1,2),
故[log4(4+
4x
1+x2
)
]=0 或 1,即函数y=[f(x)]的值域是 {0,1},
故答案为 {0,1}.
点评:本题主要考查对数函数的图象和性质、以及基本不等式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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