Question

1．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜a＜b）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$或2
• C． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，及c²=a²+b²，求出离心率的平方e²，进而求出离心率．

解答 解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即 bx+ay-ab=0，
∵原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c．
又c²=a²+b²，∴3e⁴-16e²+16=0，∴e²=4，或e²=$\frac{4}{3}$．
∵a＞b＞0，∴c²=a²+b²＜2a²，
∴e=$\frac{c}{a}$$＜\sqrt{2}$，故离心率为e=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．