Question

7．已知$f（x）=\frac{x}{1+x}（x≥0）$，数列{a_n}满足a₁=f（1），且a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），则a₂₀₁₅=$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 求得a1，再取倒数，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，结合等差数列的定义和通项公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由$f（x）=\frac{x}{1+x}（x≥0）$，
可得a₁=f（1）=$\frac{1}{2}$，
由a_n+1=f（a_n），可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
取倒数，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
即有{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为2，公差为1的等差数列，
即有$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2+2015-1=2016，
可得a₂₀₁₅=$\frac{1}{2016}$．
故答案为：$\frac{1}{2016}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题．