Question

高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为

1

2

，有一道题目做对的概率为

1

3

，有一道做对的概率为

1

4

，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）由题意知可能得到的分数是25，30，35，40，结合每一个分数对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件做出每一种分数的概率，比较出大小．
（3）根据第二问所做出的结果，列出随机变量的分布列，算出期望值．

解答：解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为

1

2

，
有一道题目做对的概率为

1

3

，有一道做对的概率为

1

4

，
∴所得40分的概率为P=

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

24

（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40
得25分做对了5题，其余3题都做错了，
∴概率为P1=

1

2

•

2

3

•

3

4

=

1

4

得30分是做对5题，其余3题只做对1题，
∴概率为P2=

1

2

•

2

3

•

3

4

+

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

=

11

24

得35分是做对5题，其余3题做对2题，
∴概率为P3=

1

2

•

1

3

•

3

4

+

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

2

•

1

3

•

1

4

=

1

4

得40分是做对8题，
∴概率为P4=

1

24

∴得30分的可能性最大
（3）由（2）得ξ的分布列为：

ξ	25	30	35	40
P	1 4	11 24	1 4	1 24

∴Eξ=25•

1

4

+30•

11

24

+35•

1

4

+40•

1

24

=

730

24

=30

5

12

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率公式，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目