Question

11．已知函数f（x）=a+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函数，则函数f（x）的零点个数是2．

Answer 1

分析 由函数f（x）=a+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函数可求得a=-$\frac{1}{2}$，从而化为方程2（4^x+1）+2x-x（4^x+1）=0（x≠0）的解的个数，再由数形结合的思想求解零点个数即可．

解答 解：∵函数f（x）=a+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函数，
∴f（-1）=-f（1），f（-1）=a+$\frac{1}{{4}^{-1}+1}$-1=a-$\frac{1}{5}$，
f（1）=a+$\frac{1}{5}$+1=a+$\frac{6}{5}$，
∴a+$\frac{6}{5}$+a-$\frac{1}{5}$=0，
故a=-$\frac{1}{2}$；
经检验，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$是奇函数，
由-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{4}^{x}+1}$+$\frac{1}{x}$=0得，
2（4^x+1）+2x-x（4^x+1）=0（x≠0）；
∴4^x+1=$\frac{2x}{2-x}$；
作函数y=4^x+1与函数y=$\frac{2x}{x-2}$的图象如右图，
结合图象可得，
函数f（x）的零点个数是2，
故答案为：2．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断与应用及方程的根与函数的零点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．