Question

1．（1）已知函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-mx+1}$的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式-x²-ax+a-3≤0在[-2，2]上恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²-mx+1≠0恒成立，即m²-4＜0，解不等式即可得到m的范围；
（2）a（1-x）≤x²+3，对x讨论，当x=1时，当1＜x≤2时，当-2≤x＜1时，运用参数分离和对号函数的单调性，即可得到最值，解不等式可得a的范围．

解答 解：（1）函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-mx+1}$的定义域为R，
即有x²-mx+1≠0恒成立，即m²-4＜0，
解得-2＜m＜2，
则实数m的取值范围是（-2，2）；
（2）关于x的不等式-x²-ax+a-3≤0在[-2，2]上恒成立，
即为a（1-x）≤x²+3，
当x=1时，0＜3显然成立；
当1＜x≤2时，-a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最小值，
由x-1=t（0＜t≤1），$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2在（0，1]递减，
t=1时，取得最小值，且为7，则-a≤7，
解得a≥-7；
当-2≤x＜1时，-a≥$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最大值，
由x-1=t（-3≤t＜0），$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2，
t=-2时，取得最大值，且为-2，则-a≥-2，
解得a≤2．
综上可得-7≤a≤2．

点评 本题考查函数的恒成立问题的求法，注意运用参数分离和单调性求最值，属于中档题．