Question

设各项均为正数的等比数列中，，.设.
(1)求数列的通项公式；   
(2)若，，求证：；

Answer 1

(1) b_n＝n. (2)“错位相减法”求和，“放缩法”证明。

试题分析：(1)设数列{a_n}的公比为q(q＞0)，
由题意有，                       2分
∴a₁＝q＝2，                               4分
∴a_n＝2ⁿ， ∴b_n＝n.                             6分
(2)∵c₁＝1＜3，c_n＋1－c_n＝，                        8分
当n≥2时，c_n＝(c_n－c_n－1)＋(c_n－1－c_n－2)＋…＋(c₂－c₁)＋c₁＝1＋＋＋…＋，
∴c_n＝＋＋＋…＋.                         10分
相减整理得：c_n＝1＋1＋＋…＋－＝3－＜3，
故c_n＜3.                                 12分
点评：中档题，本题综合考查等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。“分组求和法”、“错位相消法”、“裂项相消法”是高考常常考到数列求和方法。