Question

函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

解：（1）令x₁=1，得f（1•x₂）=f（1）+f（x₂）=f（x₂）
∴f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1•（-1））=f（-1）+f（-1）=f（1）=0
∴f（-1）=0
因此f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1，∴f（16）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2
因此，f（64）=f（16•4）=f（16）+f（4）=3
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且是偶函数
∴原不等式可化为-64≤（3x+1）（2x-6）≤64
解之得：-≤x≤5
∵函数定义域为{x|x≠0}
∴（3x+1）（2x-6）≠0，得x≠-且x≠3
综上所述，原不等式的解集为{x|：-≤x≤5且x≠-且x≠3}
分析：（1）令x₁=1，得f（1）+f（x₂）=f（x₂），由此可得f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1）+f（-1）=f（1）=0，从而f（-1）=0，所以f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），从而得到f（x）为偶函数；
（3）由f（4）=1，结合题意得f（64）=3，从而将原不等式转化为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再结合f（x）的单调性和奇偶性，将原不等式化为-64≤（3x+1）（2x-6）≤64，解之并结合函数的定义域，即可得到原不等式的解集．
点评：本题给出抽象函数为偶函数且是（0，+∞）上的增函数，求函数的值并求不等式的解集，着重考查了函数的单调性与奇偶性、不等式的解法等知识，属于中档题．