Question

已知f′（x）是函数f（x）=x²+（n∈N^*）的导函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f′（a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n-1）（2-a_n），S_n为数列{b_n}前n项和，求S_n．

Answer 1

解 （1）∵函数f（x）=x²+，n∈N^*，
∴f′（x）=x+，于是a_n+1=f′（a_n）=a_n+，从而 a_n+1-a_n=，n∈N^*，（3分）
∴a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）
=++…++=1-，即 a_n=2-，n∈N^*． （6分）
（2）∵b_n=（2n-1）（2-a_n）=（2n-1）•，
∴S_n=1×1+3×+5×+…+（2n-1），故=1×+3×+5×+…+（2n-1），
用错位相减法求得 （1-）S_n=1+2[++…+]-（2n-1）=3--=3-，…（9分）
故S_n=6-．（12分）
分析：（1）由条件求出f′（x）=x+，于是a_n+1=f′（a_n）=a_n+，计算 a_n-a₁ 的值为1-，可得 a_n．
（2）由于bn=（2n-1）（2-a_n）=（2n-1）•，求出前n项和 S_n 的解析式，用错位相减法求得 （1-）S_n 的值，
即可求得S_n的值．
点评：本题主要考查导数的运算，数列与函数的综合应用，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．