Question

设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51．假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响．
（I）求p的值；
（II）设试验成功的方案的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由题意知记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为

.

A

.这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1-p．列出等式，解出变量P．
（II）由题意知ξ的可取值为0，1，2．当ξ=0时表示试验成功的方案的个数为0，当ξ=1时表示试验成功的方案的个数为1，当ξ=2时表示试验成功的方案的个数为2，根据独立重复试验概率公式得到分布列算出期望．

解答：解：（I）记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，
则至少有一套试验成功的事件为

.

A

．
由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1-p．
∴P（A）=（1-p）²，
∴P(

.

A

)=1-(1-p)2．
令1-（1-p）²=0.51，解得p=0.3．

（II）解：ξ的可取值为0，1，2．
∵当ξ=0时表示试验成功的方案的个数为0，
当ξ=1时表示试验成功的方案的个数为1，
当ξ=2时表示试验成功的方案的个数为2，
根据独立重复试验概率公式得到分布列
P（ξ=0）=（1-0.3）²=0.49，
P（ξ=1）=2×0.3×（1-0.3）=0.42，
P（ξ=2）=0.3²=0.09．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）=0.6．

点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．