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设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当k>0时,求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
分析:(1)利用导数的几何意义求切线方程即可.(2)利用导数研究函数的单调性.(3)要使f(x)在区间(-1,1)内单调递增,则f'(x)≥0成立即可.
解答:解:(1)因为f'(x)=(1+kx)ekx,f'(0)=1,f(0)=1.
所以曲线y=f(x)在点(0,f (0))处的切线方程为y=x.….(4分)
(2)由f'(x)=(1+kx)ekx=0得1+kx=0,即x=-
1
k
,k≠0
.….(5分)
①若k>0,则当x<-
1
k
时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
当x>-
1
k
时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.….(7分)
②若k<0,则当x<-
1
k
时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
当x>-
1
k
时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.…..(9分)
所以当k>0时,函数的减区间为(-∞,-
1
k
),增区间为(-
1
k
,+∞).
当k<0时,函数的增区间为(-∞,-
1
k
),减区间为(-
1
k
,+∞).
(3)由(II)知,若k>0,则当且仅当-
1
k
≤-1,即k≤1,f(x)在区间(-1,1)内单调递增;…(11分)
若k<0,则当且仅当-
1
k
≥1,即k≥-1.
综上可知,f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及利用导数研究函数的单调性,要求熟练掌握导数和函数单调性之间的关系,考查学生的运算能力,综合性较强.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f (x)=ex,g(x)=lnx,h(x)=kx+b.
(1)当b=0时,若对?x∈(0,+∞)均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立,求实数k的取值范围;
(2)设h(x)的图象为函数f (x)和g(x)图象的公共切线,切点分别为(x1,f (x1))和(x2,g(x2)),其中x1>0.
①求证:x1>1>x2
②若当x≥x1时,关于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)写出定义域及f′(x)的解析式
(2)设a>0,讨论函数y=f(x)的单调性;
(3)若对任意x∈(0,1),恒有f(x)>1成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•德阳三模)已知函数f(x)=[x2-(a+2)x-2a2+a+2]ex
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)设a>0,x=2是f(x)的极值点,函数h(x)=xe-xf(x).若过点A(0,m)(m≠0)可作曲线y=h(x)的三条切线,求实数m的取值范围;
(3)设a>1,函数g(x)=(a2+4)ex,若存在x1∈[0,1]、x2∈[0,1],使|f(x1)-f(x2)|<12,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•淮北一模)设函数f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)写出定义域及f′(x)的解析式,
(2)设a>O,讨论函数y=f(x)的单调性.

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科目:高中数学 来源:2012年四川省德阳市高考数学三模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=[x2-(a+2)x-2a2+a+2]ex
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)设a>0,x=2是f(x)的极值点,函数h(x)=xe-xf(x).若过点A(0,m)(m≠0)可作曲线y=h(x)的三条切线,求实数m的取值范围;
(3)设a>1,函数g(x)=(a2+4)ex,若存在x1∈[0,1]、x2∈[0,1],使|f(x1)-f(x2)|<12,求实数a的取值范围.

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