Question

【题目】已知二次函数的最小值为，且.

（1）求的解析式；

（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；

（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】试题分析: (1)由, 根据二次函数的对称性可得函数的对称轴,又已知函数的最小值,可设二次函数的顶点式,再，得值,可得二次函数;(2)二次函数在区间不单调,则对称轴方程在此区间内,可得关于的不等式,解不等式即可;(3)将图像问题转化为不等式恒成立问题,即在区间上恒成立,再进一步转化为二次函数的最小值大于的问题.可得的范围.

试题解析: (1)，故二次函数关于直线对称，又由二次函数的最小值为，故可设 ，由，得，故.

(2)要使函数不单调，则，则.

(3)若在区间上，的图象恒在的图象上方，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则只要，而，得.

点睛:求二次函数的解析式的三种方式实质是特定系数法,其解题关键是根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式,把具有某种确定形式的数学问题通过引入一些待定的系数,转化为方程来解决.(1)一般式法:已知三点一般设为标准式,即;(2)交点式法:已知与轴的交点坐标为,一般设为;(3)顶点式法:已知顶点坐标为,可以设顶点为.