Question

已知点A（0，1），B，C是x轴上两点，且|BC|=6（B在C的左侧）．设△ABC的外接圆的圆心为M．
（Ⅰ）已知

AB

•

AC

=-4，试求直线AB的方程；
（Ⅱ）当圆M与直线y=9相切时，求圆M的方程；
（Ⅲ）设|AB|=l₁，|AC|=l₂，s=

l1

l2

+

l2

l1

，试求s的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出B，C的坐标，利用

AB

•

AC

=-4，建立方程，求得B，C的坐标，从而可得直线AB的方程；
（Ⅱ）设圆心为（a，b），半径为r，利用圆M与直线y=9相切，建立方程组，从而可求圆M的方程；
（Ⅲ）设B（m-3，0），C（m+3，0），求出|AB|=l₁，|AC|=l₂，s=

l1

l2

+

l2

l1

，利用换元法、配方法即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设B（a，0），则C（a+6，0）．
∵A（0，1），∴

AB

=(a，-1)，

AC

=(a+6，-1)，
由

AB

•

AC

=-4得a（a+6）+1=-4，
解得：a=-1或-5，
所以，直线AB的方程为y=x+1或y=

1

5

x+1
（Ⅱ）设圆心为（a，b），半径为r，则

a2+(b-1)2 =r b2+9 =r |9-b|=r

，解之得：a=±4，b=4，r=5，
所以，圆M的方程为（x±4）²+（y-4）²=25．
（Ⅲ）设B（m-3，0），C（m+3，0），则l1=

(m-3)2+1

，l2=

(m+3)2+1

，
所以，s=

l1

l2

+

l2

l1

=

l12+l22

l1l2

=

2(m2+10)

(m2+10)2-36m2

令m²+10=t（t≥10），则s=

2t

t2 -36t+360

=

2

360( 1 t - 1 20 )2+ 1 10

≤2

10

等号当且仅当t=20，即m=±

10

时取得．
∴当m=±

10

时，s的最大值为2

10

点评：本题考查向量知识的运用，考查圆的标准方程，考查最值的求解，正确列出函数关系式是关键．