Question

已知椭圆的焦点为F1(0，-2

2

)，F2(0，2

2

)，离心率为e，已知

2

3

，e，

4

3

成等比数列；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知P为椭圆上一点，求

PF1

•

PF2

最大值．

Answer 1

分析：（1）由

2

3

，e，

4

3

成等比数列可求得e，而c=2

2

，从而可求得a，继而可得椭圆的标准方程；
（2）设点P的坐标为（x，y），可求得

PF1

•

PF2

=x²+y²-8，结合（1）中椭圆的标准方程即可求得，

PF1

•

PF2

的最大值．

解答：解：（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比数列，
∴e²=

2

3

×

4

3

=

8

9

，
∴e=

2 2

3

；…（2分）
∵一个焦点F₁（0，-2

2

），
∴c=2

2

，则a=3，
∴b²=9-8=1，
∴椭圆的标准方程：x²+

y2

9

=1；                       …（6分）
（2）设点P的坐标为（x，y），则

PF1

=（-x，-2

2

-y），

PF2

=（-x，2

2

-y），
∴

PF1

•

PF2

=（-x，-2

2

-y）•（-x，2

2

-y）
=x²+y²-8…（8分）
∵P为椭圆上一点，由（Ⅰ）知x²+

y2

9

=1；
∴x²=1-

y2

9

，
∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-8=

8y2

9

-7…（10分）
∴当y=3时，

PF1

•

PF2

取得最大值1．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程即其性质，考查向量的数量积与坐标运算，考查等比数列的性质，属于中档题．