Question

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是

1

2

，且面试是否合格互不影响．求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=P（C）=

1

2

，分析可得“至少有1人面试合格”与“三人面试全不合格”为对立事件，由对立事件的概率，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得 ξ 的可能取值为0，1，2，3，分别计算其概率可得分布列，由期望的计算公式，结合分布列计算可得ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，
且P（A）=P（B）=P（C）=

1

2

．
至少有1人面试合格的概率是1-P(

.

A

.

B

.

C

)=1-P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=1-(

1

2

)3=

7

8

．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)+P(

.

A

.

B

.

C

)=P(

.

A

)P(B)P(

.

C

)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)
=(

1

2

)3+(

1

2

)3+(

1

2

)3=

3

8

．
P(ξ=1)=P(A

.

B

C)+P(AB

.

C

)+P(A

.

B

.

C

)=P(A)P(

.

B

)P(C)+P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(

.

C

)
=(

1

2

)3+(

1

2

)3+(

1

2

)3=

3

8

．
P（ξ=2）=P（

.

A

•B•C）=

1

8

P(ξ=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=

1

8

．
所以，ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	3 8	3 8	1 8	1 8

ξ的期望Eξ=0×

3

8

+1×

3

8

+2×

1

8

+3×

1

8

=1．

点评：本题考查对立事件、相互独立事件的概率计算与由分布列求期望的方法，关键是明确事件之间的关系，准确求得概率．