Question

对于任意x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1，1]=1[-2，1]=-3，定义R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0≤x≤1}，则A中所有元素的和为（　　）

A．55

B．58

C．63

D．65

Answer 1

分析：根据新定义，[x]表示不超过x的最大整数，要求y=f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，需要分类讨论有几个界点x=

1

8

，

2

8

，

3

8

，••

8

8

，对其进行讨论，从而进行求解；

解答：解：∵任意x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1，1]=1[-2，1]=-3，定义R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，
若A={y|y=f（x），0≤x≤1}，
当x∈[0，

1

8

)，0≤2x＜

1

4

，0≤4x＜

1

2

，0≤8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0；
当x∈[

1

8

，

2

8

)，

1

4

≤2x＜

1

2

，

1

2

≤4x＜1，1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1；
当x∈[

2

8

，

3

8

)，

1

2

≤2x＜

3

4

，1≤4x＜

3

2

，2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；
当x∈[

3

8

，

4

8

)，

3

4

≤2x＜1，

3

2

≤4x＜2，3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；
当x∈[

4

8

，

5

8

)，1≤2x＜

5

4

，2≤4x＜

5

2

，4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；
当x∈[

5

8

，

6

8

)，

5

4

≤2x＜

3

2

，

5

2

≤4x＜3，5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；
当x∈[

6

8

，

7

8

)，

3

2

≤2x＜

7

4

，3≤4x＜

7

2

，6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；
当x∈[

7

8

，1)，

7

4

≤2x＜2，

7

2

≤4x＜4，7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；
f（1）=2+4+8=14；
所以A中所有元素的和为0+1+3+4+7+8+10+11+14=58；
故选B；

点评：此题主要考查函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，是一道基础题；