Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象和y轴交于（0，1）且y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及x₀；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）如果将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

3

（纵坐标不变），然后再将所得图象沿x轴负方向平移

π

3

个单位，最后将y=f（x）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的

1

2

（横坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式并给出y=|g（x）|的对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）由y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）可得其周期，振幅．从求得A=2，ω=

1

3

，再由令图象和y轴交于（0，1）求得?从而和到函数解析式．
（2）由正弦函数的单调区间，则有

π

2

+2kπ≤

1

3

x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)解得．
（3）据题意，按照如下思路：y=2sin（

1

3

x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

2

）?g（x）=sin（x+

π

2

）．

解答：解：（1）由y轴右侧的第一个最大值、最小值点分别为P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
T=6π，A=2，ω=

1

3

（4分）
令x=0，则1=2sin?
∵|?|＜

π

2

∴?=

π

6

（5分）
∴函数式为y=2sin（

1

3

x+

π

6

）
令y=2，则x₀=π（6分）
（2）

π

2

+2kπ≤

1

3

x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)（10分）
π+6kπ≤x≤4π+2kπ（k∈Z）
∴函数y=f（x）的单调递减区间为[π+6kπ，4π+6kπ]（k∈Z）（11分）
（3）由题意得：y=2sin（

1

3

x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

2

）?g（x）=sin（x+

π

2

）（14分）
y=|g（x）|的对称轴方程为x=kπ（k∈Z）（16分）

点评：本题主要考查形如：f（x）=Asin（ωx+φ）中各参数的意义及其单调区间的求法和图象的变换．