【题目】如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0 , y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣ 时,切线MA的斜率为﹣ .
(1)求P的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【答案】
(1)解:因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′= ,且切线MA的斜率为﹣ ,
所以设A点坐标为(x,y),得 ,解得x=﹣1,y= = ,点A的坐标为(﹣1, ),
故切线MA的方程为y=﹣ (x+1)+
因为点M(1﹣ ,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=﹣ (2﹣ )+ =﹣ ①
∴y0=﹣ =﹣ ②
解得p=2
(2)解:设N(x,y),A(x1, ),B(x2, ),x1≠x2,由N为线段AB中点知x= ③,y= = ④
切线MA,MB的方程为y= (x﹣x1)+ ,⑤;y= (x﹣x2)+ ⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标满足x0= ,y0=
因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣ ⑦
由③④⑦得x2= y,x≠0
当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2= y
因此中点N的轨迹方程为x2= y
【解析】(1)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.(2)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程
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【题目】已知函数f(x)=eax﹣x,其中a≠0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)(x1<x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1 , x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图为某旅游区各景点的分布图,图中一条带箭头的线段表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H不同的旅游路线的条数,这个数是( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
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【题目】某市出租车的计价标准是:4km以内(含4km)10元,超过4km且不超过18km的部分1.2元/km,超过18km的部分1.8元/km,不计等待时间的费用.
(1)如果某人乘车行驶了10km,他要付多少车费?
(2)试建立车费y(元)与行车里程x(km)的函数关系式.
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【题目】某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场销售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/kg,时间单位:天.)
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【题目】设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
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【题目】从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同.
(Ⅰ)若抽取后又放回,抽3次.
(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率;
(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.
(Ⅱ)若抽取后不放回,写出抽完红球所需次数的分布列.
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