Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线VA垂直于圆O所在的平面ABC，VB与平面ABC成30°的角，D，E分别是线段VB，VC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：平面VAC⊥平面VBC．

Answer 1

（1）证明：∵D、E分别是线段VB，VC的中点，∴DE∥BC
∵DE?平面ABC，BC?平面ABC∴DE∥平面ABC

（2）证明：∵VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC
∵AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC
∵VA∩AC=A，∴BC⊥平面VAC，又∵BC?平面VBC，
∴平面VAC⊥平面VBC．
分析：（1）欲证DE∥平面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证DE与平面ABC内一直线平行，而DE∥BC，DE?平面ABC，BC?平面ABC，满足定理条件；
（2）欲证平面VAC⊥平面VBC，根据面面垂直的判定定理可知在平面VBC内一直线与平面VAC垂直，而VA⊥BC，BC⊥AC，VA∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面VAC，满足定理条件．
点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及平面与平面平行的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．