Question

设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．

(1)求a的值；

(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；

(3)求函数的值域．

 

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上为增函数（3）[2，＋∞)

【解析】(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，

于是＝＋3a，即.因为a＞0，故a＝1.

(2)设x2＞x1≥0，f(x1)－f(x2)＝(3x2－3x1)(－1)．

因为3x为增函数，且x2＞x1，

故3x2－3x1＞0.因为x2＞0，x1≥0，故x2＋x1＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

(3)因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．