Question

（2012•葫芦岛模拟）选修 4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用零点分段，化简函数，确定函数的最大值，使f（x）≤a恒成立，应有a≥f_max（x），即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x-2|-|x+1|=

3，x≤-1 -2x+1，-1＜x＜2 -3，x＞2

，------------------（3分）
又当-1＜x＜2时，-3＜-2x+1＜3，∴-3≤f（x）≤3-----------------------------------------------（5分）
∴若使f（x）≤a恒成立，应有a≥f_max（x），即a≥3
∴a的取值范围是：[3，+∞）
（Ⅱ）当x≤-1时，x²-2x≤3，∴-1≤x≤2，∴x=1；
当-1＜x＜2时，x²-2x≤-2x+1，∴-1≤x≤1，∴-1＜x≤1；
当x≥2时，x²-2x≤-3，无解；-------------------------（8分）
综合上述，不等式的解集为：[-1，1]．-------------------------（10分）

点评：本题考查绝对值函数，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．