Question

10．已知f（n）=n²+n（n∈N₊），g（n）=2ⁿ（n∈N₊），试判断并证明f（n）与g（n）的大小关系．

Answer 1

分析 利用数学归纳法即可证明．

解答 解：易知f（1）=2，f（2）=6，f（3）=12，f（4）=20，f（5）=30；
g（1）=2，g（2）=4，g（3）=8，g（4）=16，g（5）=32，
依此猜想：f（1）=g（1），当n=2、3、4时f（n）＞g（n），当n≥5时，f（n）＜g（n）．当n≤4时已验证，
下面用当n≥5时，f（n）＜g（n）．
（1）当n=5时，由上知f（5）=30，g（5）=32，f（n）＜g（n）成立；
（2）假设n=k（k≥5）时命题成立，即f（k）＜g（k），则：g（k+1）=2g（k）＞2f（k）=2k²+2k，f（k+1）=（k+1）²+（k+1）=k²+3k+2
∴g（k+1）-f（k+1）＞（2k²+2k）-（k²+3k+2）=k²-k-2=（k-2）（k+1）
∵k≥5，∴（k-2）（k+1）＞0，∴g（k+1）＞f（k+1）
这就是说，当n=k+1时，命题也成立．
综上知，当n≥5时，f（n）＜g（n）．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．