Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，
（1）证明：C₁C⊥BD；
（2）当

CD

CC1

的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C₁、AC和BD交于O，连接C₁O．证明BD垂直平面平面AC₁内的两条相交直线AC，C₁O，即可证明C₁C⊥BD；
（2）当

CD

CC1

=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD，A₁C与C₁O相交于G，说明点G是正三角形C₁BD的中心，证明CG⊥平面C₁BD，即可证明A₁C⊥平面C₁BD．

解答：（1）证明：如图，连接A₁C₁、AC和BD交于O，连接C₁O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，
∴△C₁BC≌△C₁DC，
∴C₁B=C₁D，
∵DO=OB
∴C₁O⊥BD，（3分）
但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，
∴BD⊥平面AC₁，
又C₁C?平面AC₁，
∴C₁C⊥BD．（6分）
（2）当

CD

CC1

=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD．
∵

CD

CC1

=1，
∴BC=CD=C₁C，
又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，
由此可推得BD=C₁B=C₁D．
∴三棱锥C-C₁BD是正三棱锥．（9分）
设A₁C与C₁O相交于G．
∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，
∴C₁G：GO=2：1．
又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C₁BD的中心，
∴CG⊥平面C₁BD，
即A₁C⊥平面C₁BD．（12分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，考查空间想象能力，是中档题．