【题目】设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,讨论的零点个数.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ) 求出,分三种情况讨论,分别令 得增区间, 得减区间;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上递增, 上递减, 上递增,利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理,可判定函数在, , 上各有一个零点,即可得结果.
试题解析:(Ⅰ) .
①当时, ,当时, ,
当时, .当时, .∴在递增
②当时,令,得,此时.
易知在递增, 递减, 递增
③当时, .易知在递增, 递减, 递增
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知在上递增, 上递减, 上递增,
且,将代入,
得
∵,∴.
下面证明 当时存在,使.
首先,由不等式,∴,∴,∴.
考虑到,
∴
.
再令,可解出一个根为,
∵,∴,∴,就取.
则有.由零点存在定理及函数在上的单调性,可知在上有唯一的一个零点.
由,及的单调性,可知在上有唯一零点.
下面证明在上,存在,使,就取,则,
∴,
由不等式,则,即.
根据零点存在定理及函数单调性知在上有一个零点.
综上可知, 当时,共有3个零点.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、以及零点存在性定理,属于难题.利用导数研究函数的单调性的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间.
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【题目】定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 ,令 ⊙ =mq-np,下面说法错误的是( )
A.若 与 共线,则 ⊙ =0
B. ⊙ = ⊙
C.对任意的λ∈R,有 ⊙ = ⊙ )
D.( ⊙ )2+( )2=| |2| |2
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【题目】如图,某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园,已知角为, 的长度均大于200米,现在边界处建围墙,在处围竹篱笆.
(1)若围墙、总长度为200米,如何可使得三角形地块面积最大?
(2)已知竹篱笆长为米, 段围墙高1米, 段围墙高2米,造价均为每平方米100元,若,求围墙总造价的取值范围.
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【题目】已知点是圆上的任意一点,点为圆的圆心,点与点关于平面直角系的坐标原点对称,线段的垂直平分线与线段交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若轨迹与轴正半轴交于点,直线交轨迹于两点,求面积的取值范围.
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【题目】已知函数对一切实数都有 成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,设:当时,不等式 恒成立;Q:当时,是单调函数。如果满足成立的的集合记为,满足Q成立的的集合记为,求A∩(CRB)(为全集).
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【题目】有下列命题:
①在函数的图象中,相邻两个对称中心的距离为;②函数的图象关于点对称;③“ 且”是“”的必要不充分条件;④已知命题:对任意的,都有,则是:存在,使得;⑤在中,若, ,则角等于或.其中所有真命题的个数是__________.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线经过伸缩变换得到曲线,若点,直线与交与, ,求, .
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