Question

【题目】已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有 = ，解得：a=2．
于是圆N的圆心N（2，4），半径r= ．
所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．
（Ⅱ）N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），
所以圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=10
（Ⅲ）设M（x，y），D（x1 ， y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得： ．
又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，
化简得： ．
故所求的轨迹方程为
【解析】（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（Ⅱ）求出N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程；（Ⅲ）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．