Question

下列四个命题：
①函数y=cos(2x-

π

3

)，x∈(0，π)的单调减区间是(

π

6

，

2π

3

)
②“a=1”是“直线x+ay-2=0和直线ax+y+2=0平行”的充要条件．
③若直线m⊥平面β，直线m∥平面α，则α⊥β．
④若函数f（x）在（-∞，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递增，则函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据2kπ≤2x-

π

3

≤π+2kπ，可求出x的范围，进而可验证①对；根据直线平行的性质可得②对，再由立体几何的知识知③对，对④中f（x）取特殊值f（x）=

1

x-1

验证不对．

解答：解：令2kπ≤2x-

π

3

≤π+2kπ∴

π

6

+kπ ≤x≤

2π

3

+kπ，当k=0时

π

6

≤x≤

2π

3

，
故(

π

6

，

2π

3

)是函数y=cos(2x-

π

3

)，x∈(0，π)的单调减区间，①正确；
当a=1时，直线x+y-2=0和直线x+y+2=0平行，故是充分条件，
当直线x+ay-2=0和直线ax+y+2=0平行时-

1

a

=-a∴a=1，所以是必要条件
∴“a=1”是“直线x+ay-2=0和直线ax+y+2=0平行”的充要条件，②正确
若直线m⊥平面β，直线m∥平面α，则α⊥β，正确③
不妨令f（x）=

1

x-1

，满足在（-∞，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递增，但函数f（x）在（-∞，+∞）不是单调函数．④不对
故答案为：①②③

点评：本题主要考查余弦函数的单调性、直线相互平行的充要条件以及立体几何的有关知识．题目不大但是涉及的知识面很广，作对这样的题要求同学们的基础必须扎实．