Question

已知 f（θ）=a sinθ+b cosθ，θ∈[0，π]，且1与2cos ² 的等差中项大于1与 sin ² 的等比中项的平方．
求：（1）当a=4，b=3时，f（θ） 的最大值及相应的 θ 值；
（2）当a＞b＞0时，f（θ） 的值域．

Answer 1

解：由题意＞sin ² ，即cosθ＞1-cosθ，∴cosθ＞，∴2kπ-≤θ≤2kπ+，k∈z，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，]，
（1）当a=4，b=3时，f（θ）=5sin（θ+α），（tanα=），∵＜＜1，
∴，∴
故f（θ） 的最大值为5，此时有相应的有 θ+α=，θ=-α=-arctan
（2）当a＞b＞0时，，故arctan（0，）故θ+α∈（0，），
∴f（θ）=5sin（θ+α）∈（0，5]
f（θ） 的值域是（0，5]
分析：（1）由1与2cos ² 的等差中项大于1与 sin ² 的等比中项的平方．可解出θ∈[0，]，（1）当a=4，b=3时，f（θ））=5sin（θ+α），（tanα=），根据θ∈[0，]，及α的取值范围进行判断即可得出f（θ） 的最大值及相应的 θ 值；
（2）由（1）f（θ）=5sin（θ+α），当a＞b＞0时，arctan（0，）判断出θ+α∈（0，），解出f（θ） 的值域．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合以及三角函数的最值，求解本题的关键是判断出角θ的范围及对f（θ）化简，然后再根据三角函数的性质判断出最值及值域．