Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|，a为实数．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的最小值和最大值；
（2）若函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，

结合图象可知f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，，

f（x）在[0，3]上的最小值为 ，

f（x）在[0，3]上的最大值为f（3）=5．

（2）解：令x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0，

必有两根 ，

∴

若函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，

则 ，解得：1≤a≤8

【解析】（1）当a=1时，求出函数f（x）的表达式，结合图象即可求出函数在[0，3]上的最小值和最大值；（2）将函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数单调性的性质和关系建立不等式进行求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．