Question

20．已知函数$f（x）={x^{{m^2}-4m}}$（实数m∈Z）的图象关于y轴对称，且f（2）＞f（3）．
（1）求m的值及函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+2）＜f（1-2a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（2）＞f（3），得到m²-4m＜0，从而0＜m＜4，由m∈Z，幂函数f（x）=xm2-4m（m∈Z）的图象关于y轴对称，得到m²-4m为偶数，由此能求出函数的解析式．
（2）由已知得|1-2a|＜|a+2|，且1-2a≠0，a+2≠0，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={x^{{m^2}-4m}}$（实数m∈Z）的图象关于y轴对称，且f（2）＞f（3）．
∴在区间（0，+∞）为减函数，
∴m²-4m＜0，解得0＜m＜4，
∵m∈Z，幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}}$^-4m（m∈Z）的图象关于y轴对称，
∴m²-4m为偶数，∴m=2，
函数的解析式为：f（x）=x^-4．
（2）不等式f（a+2）＜f（1-2a），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
∴|1-2a|＜|a+2|，解得a∈（-$\frac{1}{3}$，3），
又∵1-2a≠0，a+2≠0
∴实数a的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，3）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．