Question

18．某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜0）．
（1）根据图中数据求函数解析式；
（2）从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？

Answer 1

分析 （1）由A=$\frac{1}{2}$（y_max-y_min），$b=\frac{{y}_{max}+{y}_{min}}{2}$，T=$\frac{2π}{ω}$，能求出A、b、ω，将（7，900）当作函数的第二个特殊点，能求出φ，由此能求出函数解析式．
（2）由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，由此能求出结果．

解答 解：（1）由图象得y_max=900，y_min=700，且A+b=y_max，-A+b=y_min，
∴A=$\frac{1}{2}$（y_max-y_min）=$\frac{1}{2}$（900-700）=100，
$b=\frac{{y}_{max}+{y}_{min}}{2}$=800，且T=12=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=$\frac{π}{6}$，
将（7，900）当作函数的第二个特殊点，应有$\frac{π}{6}×7+φ=\frac{π}{2}$，
解得φ=-$\frac{2}{3}π$，
∴函数解析式为y=100sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{2π}{3}$）．
（2）由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，
又$\frac{T}{2}$=$\frac{12}{2}$=6，
∴从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个低谷或一个高峰．

点评 本题考查三角函数解析式的求法，考查三角函数图象的周期的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．