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    某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x2 – 10x3(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

    (1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

        (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

        (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

    (1) P(x) =  – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000  (x??N且x??[1, 20]);  

      MP (x) = – 30x2 + 60x +3275   (x??N且x??[1, 20]). 

     (2)年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.                      

     (3)当1< x ?? 20时，MP (x)单调递减.                              

     MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1


    解析:

    (1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000  (x??N且x??[1, 20]);   2分

      MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275   (x??N且x??[1, 20]). 

     (2) P`(x) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12)  (x??N且x??[1, 20])

           当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,

           当 12 <x < 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.

        ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,                                       

    即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.                      

     (3) 由MP(x ) =  – 30( x – 1) 2 + 3305   (x??N且x??[1, 20]).

        ∴当1< x ?? 20时，MP (x)单调递减.                                 12分

     MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1

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    （1）利润函数p（x）及边际利润函数M p（x）；
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    （1）利润函数p（x）及边际利润函数M p（x）；
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