Question

7．已知函数f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$+sinx．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得$f（x）=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）的单调增区间．

解答 （本题满分14分）
解：（1）∵f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$+sinx，
∴$f（x）=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
∴函数f（x）的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：$2kπ-\frac{3π}{4}≤x≤2kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[$2kπ-\frac{3π}{4}$，$2kπ+\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．