Question

8．已知函数f（x）=xe^x与函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax的图象在点（0，0）处有相同的切线．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-bg（x）（b∈R），求函数h（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数以及f'（0）=1，求出g'（x）=x+a，g'（0）=a，利用f（x）与g（x）的图象在（0，0）处有相同的切线，列出方程，即可求解a．
（Ⅱ）求出$h（x）=f（x）-bg（x）=x{e^x}-\frac{1}{2}b{x^2}-bx$，x∈[1，2]，求出h'（x），（1）当b≤0时判断函数的单调性求出h（x）的最小值．   
（2）当b＞0时，由h'（x）=0得，x=lnb，通过①若lnb≤1，即0＜b≤e，②若1＜lnb＜2，即e＜b＜e²，③若lnb≥2，即b≥e²，分别求解函数的最小值即可．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为f'（x）=e^x+xe^x，所以f'（0）=1．…．（2分）
因为g'（x）=x+a，所以g'（0）=a．…．（4分）
因为f（x）与g（x）的图象在（0，0）处有相同的切线，所以f'（0）=g'（0），所以a=1．…．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x$，
令$h（x）=f（x）-bg（x）=x{e^x}-\frac{1}{2}b{x^2}-bx$，x∈[1，2]，
则h'（x）=e^x+xe^x-b（x+1）=（x+1）（e^x-b）．                          …．（6分）
（1）当b≤0时，?x∈[1，2]，h'（x）＞0，所以h（x）在[1，2]上是增函数，
故h（x）的最小值为$h（1）=e-\frac{3}{2}b$；                                      …．（7分）           
（2）当b＞0时，由h'（x）=0得，x=lnb，…．（8分）
①若lnb≤1，即0＜b≤e，则?x∈[1，2]，h'（x）＞0，所以h（x）在[1，2]上是增函数，
故h（x）的最小值为$h（1）=e-\frac{3}{2}b$．…．（9分）
②若1＜lnb＜2，即e＜b＜e²，则?x∈（1，lnb），h'（x）＜0，?x∈（lnb，2），h'（x）＞0，
所以h（x）在（1，lnb）上是减函数，在（lnb，2）上是增函数，
故h（x）的最小值为$h（lnb）=-\frac{1}{2}b{ln^2}b$；  …．（11分）
③若lnb≥2，即b≥e²，则?x∈[1，2]，h'（x）＜0，所以h（x）在[1，2]上是减函数，
故h（x）的最小值为h（2）=2e²-4b．…．（12分）
综上所述，当b≤e时，h（x）的最小值为$h（1）=e-\frac{3}{2}b$，
当e＜b＜e²时，h（x）的最小值为$-\frac{1}{2}b{ln^2}b$，
当b≥e²时，h（x）的最小值为2e²-4b．…．（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想转化思想的应用，考查计算能力．