Question

平面直角坐标系中，已知点P₀（1，0），P₁（2，1），且

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

（n∈N^*）．当n→+∞时，点P_n无限趋近于点M，则点M的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

=(-

1

2

)n（1，1）．再由

lim

n→∞

(-

1

2

)n（1，1）=（1，1）能得到M点的坐标．

解答：解：∵

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

（n∈N^*），
=(-

1

2

)n

P0P1

=(-

1

2

)n(

OP1

-

OP0

)=(-

1

2

)n（1，1）．
∴P₂（2-

1

2

，1-

1

2

），P₃（2-

1

2

+(-

1

2

)2，1-

1

2

+(-

1

2

)2），…，P_n（2-

1

2

+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1，1-

1

2

+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1）
∴P_n（2+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n-1]

1+ 1 2

，1+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n-1]

1+ 1 2

，），
∵点P_n无限趋近于点M，
∴点M的坐标为（

5

3

，

2

3

）
故答案为（

5

3

，

2

3

）．

点评：本题考查数列的极限和应用，解题时要注意向量的坐标运算．同时考查了运算能力和分析归纳推理能力，属中档题题．