Question

11．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄．则通项公式a_n=13-3n．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₂-10．由S_n≤S₄．化为：（n-4）（n+3）a₂≤10（1+n）（n-4），对n分类讨论，即可得出．
另解：依题意，S_n≤S₄．可知a₅≤0，且a₄≥0，可得$\left\{\begin{array}{l}{10+4d≤0}\\{10+3d≥0}\end{array}\right.$，解得d范围，又a₁=10，a₂为整数，可得d，即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则d=a₂-10．
∵S_n≤S₄．
∴10n+$\frac{n（n-1）}{2}（{a}_{2}-10）$≤40+$\frac{4×3}{2}$（a₂-10），
化为：（n-4）（n+3）a₂≤10（1+n）（n-4），
当n≤3时，a₂≥$\frac{10（1+n）}{n+3}$，
当n=1时，化为a₂≥5；
当n=2时，化为a₂≥6；
当n=3时，化为a₂≥$\frac{20}{3}$；
当n=4时，化为0≤0；
当n≥5时，化为a₂≤$\frac{10（1+n）}{n+3}$=10-$\frac{20}{n+3}$，
∵当n≥5时，$\frac{-20}{n+3}$单调递增，∴a₂≤$\frac{10×6}{8}$=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{20}{3}$≤a₂$≤\frac{15}{2}$，
∵a₂为整数，
∴a₂=7．
∴d=-3．
∴a_n=10+（n-1）d=13-3n．
另解：依题意，S_n≤S₄．可知a₅≤0，且a₄≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10+4d≤0}\\{10+3d≥0}\end{array}\right.$，
解得$-\frac{10}{3}≤d≤-\frac{5}{2}$，
又a₁=10，a₂为整数，
∴d=-3，
即可求得a₂=7，
∴d=-3．
∴a_n=10+（n-1）d=13-3n．
故答案为：13-3n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．