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已知双曲线数学公式(a>0,b>0)的右焦点F,直线x=数学公式与其渐近线交于A,B两点,且△ABF为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是


  1. A.
    数学公式
  2. B.
    数学公式
  3. C.
    数学公式
  4. D.
    数学公式
D
分析:先通过联立方程组求出A,B坐标,根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB>90°,可知∠AFD>45°,即DF<DA,再分别求出DF与DA长度,用含a,c的式子表示,因为离心率等于,即可求出离心率的范围.
解答:双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x
联立方程组,解得A(),B(,-),
设直线x=与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点,∴F(C,0)
∵△ABF为钝角三角形,且AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即DF<DA
∴c-,b<a,c2-a2<a2
∴c2<2a2,e2<2,e<又∵e>1
∴离心率的取值范围是1<e<
故选D
点评:本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含a,c的齐次式,再解不等式.
练习册系列答案
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已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角为(    )

A.30°             B.45°              C.60°               D.90°

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(A) -=1 (B) -=1

(C) -=1 (D) -=1

 

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(A)    (B)     (C) (D)

 

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