Question

（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）
①在直角坐标系中圆C的参数方程为（α为参数），若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为    ．
②已知关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a＜2011（a是常数）的解是非空集合，则a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：①圆C的普通方程为x²+y²=4y，由x²+y²=ρ²，4y=4ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程为 ρ=4sinθ．
②当x≥-a时，原式=x+2a+|x-1|＜2011，当x＞1时，2x+2a-1＜2011，2x+2a＜2012，a＜1006-x＜1005．当x=1时，1+2a＜2011，a＜1005．当x＜1时，2a+1＜2011，a＜1005．当x＜-a时，原式=|x-1|-x＜2011，不等式恒成立．由此能求出a的取值范围．
解答：解：①∵圆C的参数方程为（α为参数），
∴圆C的普通方程为x²+（y-2）²=4，
即x²+y²=4y，
∵x²+y²=ρ²，4y=4ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程为 ρ=4sinθ．
故答案为：ρ=4sinθ．
②当x≥-a时，原式=x+2a+|x-1|＜2011，
当x＞1时，2x+2a-1＜2011，
2x+2a＜2012，
a＜1006-x＜1005．
当x=1时，1+2a＜2011，
a＜1005．
当x＜1时，2a+1＜2011，
a＜1005．
当x＜-a时，原式=|x-1|-x＜2011，
不等式恒成立．
综上所述，a＜1005．
故答案为：（-∞，1005）．
点评：第①考查圆的参数方程、普通方程和极坐标方程的相互转化，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
第②考查含参数的绝对值不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．