Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。（1）求异面直线PA与CD所成的角；（2）求证：PC∥平面EBD；（3）求二面角A－BE－D的大小。

Answer 1

(Ⅰ) ∠PAF=60° (Ⅱ)   略  （3）

解析:

解法一：（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD

在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,

∴BD=，BC=6

取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD，

∴PA与CD所成的角就是∠PAF   （4分）

连PF由题设易知AF=PF=PA=,

∴∠PAF=60°即为所求     （6分）

（2）连AC交BD于G，连EG，易知,

又∴，∴PC∥EG,又EG面EBD，∴PC∥面EBD  （10分）

（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB

作AH⊥BE于H，连DH，则DH⊥BE,   （12分）

在△AEB中，易求得BE=，

在△DAH中，∠

即所求二面角的大小为  （14分）

解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，设

则A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），=∵，∴，即：3（3-）+9=0  （2分）

∴

∴

∴，即异面直线PA与CD所成的交为60°            （6分）

（2）设平面BED的法向量为  ∵

由得，∴       （12分）

又由（1）知，∴，∴PC∥面EBD  （10分）

（3）由（2）知

又平面ABE的法向量，

故所求二面角的大小为                                 （14分）