Question

5．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-2，-1）=-1．下列命题中真命题为①③④．（写出所有真命题的序号）
①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
②若{a_n}为等差数列，则[a_n）也是等差数列；
③函数f（x）=[x）-x是周期函数；
④若x∈（1，4），则方程[x）-x=$\frac{1}{2}$有3个根．

Answer 1

分析 ①由于函数f（x）=[x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{（0，1），x∈（n，n+1）}\\{1，x∈\{n\}}\end{array}\right.$，即可判断出真假；
②是假命题，例如${a}_{n}=\frac{1}{3}n$，则[a_n）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；
③由于f（x+1）=[x）+1-（x+1）=[x）-x=f（x），因此函数f（x）=[x）-x是周期为1的周期函数，；
④如图所示，即可判断出真假．

解答 解：①∵函数f（x）=[x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{（0，1），x∈（n，n+1）}\\{1，x∈\{n\}}\end{array}\right.$，因此f（x）的值域是（0，1]，是真命题；
②若{a_n}为等差数列，则[a_n）也是等差数列，是假命题，例如${a}_{n}=\frac{1}{3}n$，则[a_n）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；
③∵f（x+1）=[x+1）-（x+1）=[x）+1-（x+1）=[x）-x=f（x），因此函数f（x）=[x）-x是周期为1的周期函数，是真命题；
④若x∈（1，4），则方程[x）-x=$\frac{1}{2}$有3个根，如图所示，是真命题．
综上可得：真命题为①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查新定义函数、函数的图象与性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．