Question

设A、B、C分别是复数Z₀=ai，Z₁=

1

2

+bi，Z₂=1+ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点．
证明：曲线：Z=Z₀cos⁴t+2Z₁cos²tsin²t+Z₂sin⁴t  （t∈R）与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．

Answer 1

证明：曲线方程为：z=aicos⁴t+（1+2bi）cos²tsin²t+（1+ci）sin⁴t
=（cos²tsin²t+sin⁴t）+i（acos⁴t+2bcos²tsin²t+csin⁴t）
所以x=cos²tsin²t+sin⁴t=sin²t（0≤x≤1）
y=acos⁴t+2bcos²tsin²t+csin⁴t=a（1-x）²+2b（1-x）x+cx²
即y=（a-2b+c）x²+2（b-a）x+a（0≤x≤1）①
若a-2b+c=0，则Z₀、Z₁、Z₂三点共线，与已知矛盾，故a-2b+c≠0．
于是此曲线为对称轴与x轴垂直的抛物线．
设AB中点M：

1

4

+

1

2

(a+b)i，BC中点N：

3

4

+

1

2

(b+c)i
与AC平行的中位线经过M(

1

4

，

1

2

(a+b))及N(

3

4

，

1

2

(b+c))两点，
其方程为4（a-c）x+4y-3a-2b+c=0（

1

4

≤x≤

3

4

），
令4（a-2b+c）x²+8（b-c）x+4a=4（c-a）x+3a+2b-c，
即4（a-2b+c）x²+4（2b-a-c）x+a-2b+c=0，
由a-2b+c=0，得4x²+4x+1=0，此方程在[

1

4

，

3

4

]内有唯一解x=

1

2

，
以x=

1

2

代入①得y=

1

4

(a+2b+c)，
所以，所求公共点坐标为（

1

2

，

1

4

(a+2b+c)．